Resolución de Ecuaciones Lineales

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra.

A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas.

Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utiliza un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas.

Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.

Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

2=3

El método de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

Método de Reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Método de Igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde a,b y c, representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que
b=c

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b , entonces la ecuación

no contendría dicha incógnita.
b=c

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos  x.

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye x por su solución en otras ecuaciones donde aparezca  para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

Método de Sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar  a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

(f-e).b+c=d

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí  a,b,c,d,e y  f    son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.

Método de la Matriz Inversa

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

Siexiste, es decir, si A es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por, para obtener:

que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes A y matriz de términos independientes B.

Regla de Cramer

Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz   A   de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que  A sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:

En general

donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de   A  por la matriz de los términos independientes,   B  .