Ejemplo de Inecuaciones Lineales

Como resolver una inecuación

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales, por ello es que se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica , la cual contiene infinitos números reales.

Las reglas para la resolución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución de ecuaciones, pero deben tenerse presentes las propiedades de las desigualdades.

Como ya dijimos, se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita ; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco .

Ejemplo: x > 7 (equis es mayor que 7)

Los valores mayores a 7 se representan a la derecha de la recta numérica y no incluyen al 7. En intervalo desde el punto blanco hacia el infinito a la derecha se escribe:


Ejemplo: x ≥ 7 (equis es mayor o igual a 7)

Los valores mayores e iguales a 7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7. El intervalo desde el punto negro hacia el infinito a la derecha se escribe: Nótese la postura del corchete cuando incluye y cuando no incluye una cifra determinada dentro del intervalo.

Resolución de inecuaciones lineales (de primer grado) con una incógnita

Veamos algunos ejemplos:

Resolver la inecuación 4x - 3 > 53 (Se lee: cuatro equis menos tres es mayor que 53)

Debemos colocar las letras a un lado y los números al otro lado de la desigualdad (en este caso, mayor que  > ), entonces para llevar el –3 al otro lado de la desigualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Tendremos:   4x − 3 + 3 > 53 + 3

4x > 53 +3

4x > 56

Ahora tenemos el número 4 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la desigualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

Tendremos ahora:     x > 56 ÷ 4

x > 14

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" serán todos los números mayores que 14, no incluyendo al 14.

Gráficamente, esta solución la representamos así:

Esto significa que en la recta numérica, desde el número 14 (sin incluirlo) hacia la derecha todos los valores (hasta el infinito + ∞) resuelven la inecuación.

Veamos el siguiente ejemplo: –11x -5x +1 < –65x +36

Llevamos los términos semejantes a un lado de la desigualdad y los términos independientes al otro lado de la desigualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

–11x –5x +65x < 36 –1

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

49x < 35

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Casos Especiales

Cuando el lado de la incógnita queda con signo negativo (–), se debe realizar un arreglo para eliminar ese signo negativo, ya que la incógnita nunca debe quedar con valor negativo.

Veamos el siguiente ejemplo:

2x –[x –(x –50)] < x – (800 –3x)

Primero quitamos los paréntesis:

2x –[x –x +50] < x –800 +3x

Reducimos términos semejantes.

2x –[50] < 4x –800

Ahora quitamos los corchetes

2x –50 < 4x –800

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

2x –4x < –800 +50

Nuevamente reducimos términos semejantes y llegamos a

–2x < –750

Pero sabemos que no puede quedar signo negativo en la parte de la incógnita, entonces cambiamos de signo a todo (–2x queda 2x y –750 queda 750), y además cambiamos el sentido de la desigualdad ( < lo cambiamos por > ) .

2x > 750

Despejamos x pasando al 2 a dividir, luego simplificamos.