Ejemplo:Resolución de Problemas con Vectores

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o mas magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. 

Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2; 3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. 

Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

Resolución de problemas de suma de vectores

1. un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

a)      ¿Cuál es la diferencia total que recorren?

b)      ¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

a)      como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

 Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo α que forma. Así, encontramos que R = 5 Km. con un ángulo α de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado. Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. Si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y, los vectores ax y ay así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a. se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. Un ejemplo: encontrar grafica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

Para encontrar de manera grafica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. Para este caso puede ser: 1cm = 10N

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador. Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las X y otra hacia el eje de las Y. en el punto de intersección del eje X quedara el extremo del vector componente Fx. En el punto de intersección del eje Y quedara el extremo del vector componente Fy. En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector F = 40N, el cual estamos descomponiendo:

Para encontrar el valor de la componente en X del vector F o sea Fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. En este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34N.

Para hallar el valor de la componente de Y del vector F o sea Fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20N.

Solución por método analítico

Al fin de determinar el valor de las componentes de manera analítica observemos que se forma un triangulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y. trabajaremos solo con el triangulo rectángulo formado al proyectar la línea hacia el eje de las X. las componentes perpendiculares del vector F serán: para Fx el cateto adyacente y par Fy el cateto opuesto al ángulo de 30º. Por lo tanto debemos calcular cuanto valen estos dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonometricas seno y coseno.

Calculo de Fy:

Sen 30º = cateto opuesto = Fy

Hipotenusa         F

Despejemos Fy:

Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N

Calculo de Fx:

Cos 30º = cateto adyacente = Fx

Hipotenusa          F

Despejemos Fx:

Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de Fy Y Fx de manera grafica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia. Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes. En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión.