Ejemplo: Extremo y Monotonía de Funciones

Método de resolución

Extremos

1. Estudiar el dominio.
2. Calcular la primera derivada.
3. Puntos críticos: puntos candidatos a ser extremo. Aquellos que anulan la primera derivada junto con los extremos de los intervalos de definición si la función está definida a trozos.
4. Calculamos la segunda derivada.
5. Calculamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan a la primera derivada:
   • Si es negativa, es un máximo.
   • Si es positiva, es un mínimo.
6. Para saber si los extremos de los intervalos de definición son extremos, estudiamos la monotonía alrededor de dichos puntos.

Monotonía

1. Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos del dominio que generan los puntos críticos. Para ello escogemos cualquier punto de cada intervalo (el signo de la derivada no varía en los intervalos):
   • Si es positiva: la función es creciente en el intervalo.
   • Si es negativa: la función es decreciente en el intervalo.
2. Los puntos de los intervalos de definición son:
• Mínimo: si la función decrece a su derecha y crece a su izquierda.
• Máximo: si la función crece a su derecha y decrece a su izquierda.
• No es extremo: si la función crece o decrece a ambos lados.

Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

SOLUCIÓN Dominio: Puesto que la función es polinómica, el dominio es todos los reales. Extremos: La derivada es

Buscamos los puntos que anulan la derivada

Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es

El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada es

Puesto que se trata de una parábola, el mínimo, que corresponde al vértice, es un mínimo absoluto.

Monotonía:

Estudiamos el signo de la primera derivada en

Escogemos cualquier punto de cada uno de los intervalos

La función es decreciente en el primer intervalo y creciente en el segundo.

La gráfica de la función es

Ejercicio 2

SOLUCIÓN Dominio: Puesto que la función es polinómica, el dominio es todos los reales. Extremos: Desarrollamos el producto para calcular la derivada: Buscamos los puntos que anulan la derivada Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada son Los extremos son relativos (no absolutos) ya que la función no está acotada (los límites de la función son infinito). Monotonía A la izquierda del mínimo y a la derecha del máximo la función es decreciente (derivada primera negativa). A la derecha del mínimo y a la izquierda del máximo la función es creciente (derivada primera positiva). Podemos estudiar el signo en los intervalos que en los que dividen los extremos el dominio de la función para comprobarlo. La gráfica de la función es

Ejercicio 3

SOLUCIÓN Dominio: Puesto que es una función racional, el dominio son todos los puntos que no anulen el denominador. Éstos son Por tanto, el dominio es Extremos: La derivada es Buscamos los puntos que anulan la derivada Estudiamos si los puntos críticos son extremos. La segunda derivada es El signo de la segunda derivada en los puntos que anulan la primera derivada son No es un extremo absoluto. Monotonia Estudiamos el signo de la primera derivada en los intervalos que conforman el dominio junto con los que genera el extremo: La gráfica de la función es